GIS中圆曲线的不确定性模型

　　摘　要：本文应用圆曲线上任意点坐标的协方差来描述圆曲线的不确定性，推证了
一种坐标加权平均值的协方差公式，给出了以圆曲线法线方向的中误差表示误差带宽的
εσ模型，同时还导出了以最大方向误差表示带宽的εm模型。通过实例计算和可视化表
达对该模型进行了验证，说明了该模型是一种实用且理论严密的圆曲线不确定性模型。

　　关键词：GIS；圆曲线；不确定性；ε误差带
Uncertainty Model of Circular Curve Features in GIS
TONG Xiao-hua1，2，SHI Wen-zhong2， LIU Da-jie1
(1. Department of Surveying and Geomatics, Tongji University, Shanghai,20009
2；
2. Department of Land Surveying & Geo-Informatics, The Hong Kong Polytechnic
University,HongKong)
Abstract：This paper presents an uncertainty model for describing circular c
urve features with the variance-covariance of an arbitrary point on the curv
e.The weighted average covariance formula of any point is deduced. The model
, which is represented by root mean square in circular curve normal directio
n, is developed. And the model, which is represented by error in the maximum
direction is defined. With a case study and visualization, it is proved tha
t this model is theoretically rigorous for describing error of circular curv
e lines.
Key words：GIS； circular curve； uncertainty；ε-band
1　引　言
　　GIS空间数据的不确定性模型的研究是GIS基础理论问题之一。许多文献已对直线的
不确定性模型作了较深入的研究［2，7～10］。对曲线的误差建模，文献［5］首先定义
数学曲线如圆、正弦函数曲线作为理论曲线，通过重复数字化该曲线，得到曲线数字化
的精度值。文献［4］从时序分析角度，建立了等高线曲线数字化的误差模型，并定义了
描述曲线复杂度的指标。文献［3］从曲线拟合的角度，得出了描述曲线边界不确定性的
一种方法。此外，还有用折线代替曲线或将直线不确定性模型直接推广到曲线的设想。
但由于曲线比直线复杂得多，这种设想会使结果产生不应有的矛盾现象。迄今为止，对
建立各种曲线不确定性模型的严密理论研究成果尚未见到。
　　笔者认为，应该结合不同曲线的数学模型来研究其不确定性模型。为此，本文首先
探讨一类常见的典型曲线——圆曲线的不确定性模型。
　　如图1，设点1，2为圆曲线上的两点，若有观测距离S1i和S2i,则可以分别通过点1和
S1i或者通过点2和S2i确定i点在圆曲线的位置，并以和作为它们的权，对它们取加权平
均值，并由加权平均值的方差来描述圆曲线的不确定性。
图1　圆曲线上任意一点及其εσ和εm模型
Fig.1　An arbitrary point on the circular curve and εσ and εm models
　　文献［6］对线元进行常数为ε的Buffer操作，以宽度ε来表示线元的不确定性模型
，称之为ε带宽或ε模型。文献［1，7］等将不同情况下的中误差表示的模型称为“Ε
-带”、“e-带”和“S-带”模型。为了论述和理解的方便，我们称以直线或曲线的法线
方向的中误差表示带宽的模型称为εσ带或εσ模型，而称以最大方向误差表示的带宽
为εm带或εm模型。本文较详细地推证了求定圆曲线上任意点坐标的方差的公式，给出
了以圆曲线法线方向的中误差表示误差带宽的εσ模型，同时还导出了以最大方向误差
表示带宽的εm模型。
2　圆曲线上任意点坐标的微分关系式
　　设圆曲线方程为
(x-x0)2+(y-y0)2＝R2　　(1)
其中R为圆的半径，(x0,y0)为圆心的坐标，则圆弧上的点1，2和任意点i满足方程(1)，
即对于j=1,2,i，有微分式
(xj-x0)(dxj-dx0)+(yj-y0)（dyj-dy0）
=RdR　　(j=1,2,i)　　(2)
又对于观测距离S1i,有
Δx21i+Δy21i=S21i　　(3)
微分得
Δx1i(dxi-dx1)+Δy1i(dyi-dy1)=S1idS1i　　(4)
由式(2)、(4)可解得
　　(5)
为推导方便，上式中将dxi，dyi记为dxi′，dyi′,且式中有
　　(6)
　　而由观测距离S2i的微分式和式(2)也可解得
　　(7)
其中
　　(8)
　　(8)
3　任意点i坐标的方差和εσ模型
　　为求定以点1，2为端点的圆弧上任意一点i坐标的方差，首先将由式(5)，式(7)得到
的微分关系式取加权平均值，其权为，可得
　　(9)
式中，根据协方差传播定律可得到
　　(10)
式中σ2xi和σ2yi是i点坐标的方差，Dζ表示ζ的方差-协方差阵。若以圆曲线法线方向
上的中误差σθ(即图1b中iGθ)表示误差带宽，因法线方向的方位角为
且有
uθ＝xicosθ+yisinθ
所以
σ2 ＝σ2xicos2θ+σ2yisin2θ+σxiyisin2 取　?11)
我们称为σθ为误差带宽的模型为εσ带或εσ模型。
4　最大方向误差模型(εm模型)
　　圆曲线上i点法线方向中误差σθ即是法线与误差曲线交点Gθ至圆曲线的距离，即
Gθi=σθ，但Gθ并不是误差曲线上至圆曲线的最大距离的点，设误差曲线上的Gφ点至
圆曲线的距离GφGλ大于Gθi=σθ。下面讨论求定Gφ点和GφGλ值的方法。
　　设iGφ的方位角为φ，则
σ2 ＝σ2xicos2φ+σ2yisin2φ+σxiyisin2φ　　(12)
此时，Gφ点的坐标为
　　(13)
连接Gφ与圆心G0，则GφG0与圆曲线垂直，且交圆曲线于Gλ点，GφGλ的距离为
Sφλ=|Sφ0-R|　　(14)
则当Sφλ取最大值时，可将Sφλ的最大值取作误差带宽，也就是求定Sφ0的极大值或
极小值。由
　　(15)
将式(12)代入式(15)，然后求Sφ0的极值。但这种方法将得到一个复杂的三角方程，难
以求解，为此，采用以下求解方法。
　　将σφ和φ作为参数，则式(12)可视为它们之间的一个条件方程，并设
φ=φ0+δφ，　　σφ=σ0φ+ σφ
式(12)用台劳级?箍??
2σ0 摩姚? 力 δφ+w0=0　　(16)
式中
又设
　　(17)
展开得
　　(18)
由此，可构成函数
Ω=u21+u22+2λ(2σ0φδσφ+αφδφ+w0)　　(19)
由
　　(20)
得方程组
　　(21)
5　可视化与算例分析
　　为了与直线的不确定性模型进行比较，采用文献［8］中的计算数据来进行分析。如
表1所列，给定圆曲线上任意两点Z1，Z2的坐标，以及坐标方差—协方差矩阵，同时假定
距离的方差为?5.0 m2。
表1　起始数据列表
Tab.1　Initial data sets
编　号 Z1 Z2
X1/m Y1/m σ2x1/m2 σ2y1/m2 σ2x1y1／m2 X2/m Y2/m σ2x2/m2 σ2y2/m2 σ2x2y2／
m2
1 657.34 1 200.26 15.84 15.84 0.00 669.26 1 218.99 15.84 15.84 0.00
2 657.34 1 200.26 15.84 15.84 0.00 669.26 1 218.99 3.96 3.96 0.00
3 657.34 1 200.26 18.91 8.71 8.83 669.26 1 218.99 18.91 8.71 -8.83
4 657.34 1 200.26 18.91 8.71 8.83 669.26 1 218.99 18.91 8.71 8.83
5 657.34 1 200.26 15.58 12.04 -10.05 669.26 1 218.99 15.58 12.04 10.05
6 657.34 1 200.26 7.52 4.68 3.89 669.26 1 218.99 15.58 12.04 10.05
7 657.34 1 200.26 17.30 10.32 9.58 669.26 1 218.99 6.82 5.38 4.08
8 657.34 1 200.26 4.03 8.17 -3.59 669.26 1 218.99 13.81 13.81 -10.20
表2　圆曲线1的误差带宽计算结果
Tab.2　Computation results of error bands for circular curve No.1
σ2s r σ2xr/m2 σ2yr/m2 σ2xryr/m2 εσ εm
5.0 0.10 13.739 17.248 0.459 3.706 3.709
　 0.20 11.928 14.596 0.398 3.453 3.457
　 0.30 10.830 12.442 0.704 3.291 3.300
　 0.40 10.159 11.069 0.642 3.187 3.195
　 0.50 9.818 10.581 0.480 3.133 3.138
　 0.60 9.909 10.902 0.461 3.148 3.152
　 0.70 10.682 11.814 0.699 3.268 3.277
　 0.80 12.445 13.064 1.111 3.528 3.544
　 0.90 15.432 14.485 1.391 3.928 3.945
表3　圆曲线的误差带宽计算结果
Tab.3　Computation results of error bands for circular curves
编
号 r Xr/m Yr/m σ2xr/m2 σ2xr/
m2 σ2xryr/
m2 εσ εm
1 0.50 1208.100 665.204 9.818 10.581 0.480 3.133 3.138
2 0.50 1208.100 665.204 6.975 7.012 -1.120 2.640 2.676
3 0.40 1206.260 663.893 6.005 11.714 -1.625 2.450 2.632
4 0.50 1208.101 665.204 4.308 14.227 -0.074 2.075 2.308
5 0.50 1208.100 665.204 7.587 11.458 3.384 2.754 2.980
6 0.50 1208.100 665.204 2.880 11.462 0.046 1.697 1.985
7 0.80 1214.331 668.186 4.237 8.484 -3.015 2.058 2.475
8 0.90 1216.617 668.824 18.091 7.687 5.580 4.253 4.358
　　分析计算结果可知：
　　1. 表2列出了圆曲线1的各点的误差椭圆参数与εσ，εm误差带的计算值。从计算
结果看，当端点等精度时误差带近似地对称于中点。同时从图2和图3的圆曲线1误差椭圆
与误差带可视化可以看出，圆曲线不确定性模型仍然呈现了“两端大，中间小”的误差
分布。
图2　圆曲线1的误差椭圆族与εσ误差带
Fig.2　The error ellipses and εσ error band for curve No.1
图3　圆曲线1的εσ和εm误差带
Fig.3　The σ　and εm error bands for curve No.1
　　2. 从表2和表3也可看到，端点等精度时的圆曲线法线方向的误差带宽εσ与最大方
向误差的带宽εm模型存在一定的差异，这种差异与圆曲线的端点误差大小、状态、相关
性等有关。从理论上说，εm模型是更为严密的不确定性模型。由于采用计算机实现解算
，在效率上是可以达到实用的，当然，在εm与εσ相差不大的情况下，仍然可以采用ε
σ来近似计算，其计算比较简单。
　　3. 图4给出了各种情况下圆曲线不确定性模型的可视化(计算数据见表1)，即①端点
等精度，且端点坐标分量的误差独立、相等(图?4(a))；②端点等精度，而端点坐标分
量的误差不等且相关(图?4(c))；③端点不等精度，而端点坐标分量的误差独立(图?4
(b))；④端点不等精度，且端点坐标分量的误差不等且相关(图?4(d))；⑤其他一般性
情况(图4(e)～4(h))。由此可以看到，圆曲线的误差带与直线的误差带是不同的。
图4　各种情况下圆曲线不确定性εm模型的可视化
Fig.4　Visualization of εm　error band of the
circular curves
　　圆曲线是一种典型的空间曲线要素，是道路曲线、各种建筑物中的常见类型。美国
数字地图标准委员会也将其定义为基本空间数据目标。我们对某地区用于道路交通事故
分析的空间数据库中1∶1 000的数字地图进行实例应用，图中包括点、线、面以及由直
线、圆曲线和缓和曲线等组成的道路曲线等要素，通过平差处理获得数字化坐标数据的
精度值［11］，作为评价各种空间要素位置误差的基础，画出了道路曲线等各要素的ε
σ和εm带，从而将曲线要素的不确定性范围可视化地表达出来。
6　结束语
　　本文在GIS中线元不确定性模型分析的基础上，建立了描述曲线元不确定性的模型和
相应的计算方法，并导出了圆曲线上任意点坐标的方差的公式，给出了以圆曲线法线方
向的中误差表示误差带宽的εσ模型，以及以最大方向误差表示带宽的εm模型。从对曲
线的不确定性描述来看，εm比εσ更为严密，不过，当曲线上点的纵向与横向误差相关
性较小时，二者的差异很小，因此，在实用上采用εσ较直观方便。
国家自然科学基金(编号：49671065)及香港大学资助委员会研究基金(编号：HKP65/95E
)资助。