数学形态学的基本运算

数学形态学的讨论对象是数字图像。图像中各点的坐标都是整数，记作（x , y）。并假定图像是二值的，即每个点（x , y）上的灰度值ƒ(x , y)或者是1（目标点），或者是0（背景点）。在考察图像各部分之间的关系时，需要设计一种收集信息的“探针”，称为“结构元素”。在图形中不断移动结构元素，便可考察各个部分之间的关系。
若P(x1 , y1)和Q(x1 , y1)是一副图像中的两个点，λ是一整数，则规定：
P + Q = (x1 + x2 , y1 + y2)
λP = (λx1 ,λy1)。
分别称为点的加法以及点与数的乘法。
设A是一副数字图像中的一个部分而b是一个点，则可以定义A被b平移后的结果为：Ab＝{a＋b | a∈A}
上式的含义是说，取出A中的每个点a，将它与b相加，便得到一个新的点a＋b。所有这些新点所构成的图像便是A被b平移的结果，记作Ab。
设A是被研究的图像，B是另一副图像作结构元素来使用。假设B中共包括三个点，即b1（0，0），b2（1，0），b3（0，1），分别求A被b1，b2和b3平移的结果，得到三个新图，其中Ab1和A重合，Ab2相当于A向右平移一个单位而Ab3相当于A向上平移了一个单位。下一步是将Ab1，Ab2和Ab3“合并”起来并得到一个新图像，称它为A被B膨胀的结果，记作 。“合并”的含义是：将Ab1，Ab2和Ab3重叠在一起。若某个点（x，y）在以上三张图上的灰度都是零，则 在（x，y）处的灰度也取零；否则， 在（x，y）处的灰度取1。A被图中的结构元素B膨胀相当于在原有的基础上向右方和上方各扩充了一个单位。
其中Ac表示A的补，即从整副图像中去掉A后所剩的部分。上式表示，先求A的补集被B的反射膨胀的结果，再求这一结果的补，最终得到图像便称为A被B腐蚀的结果，或A与B的明可夫斯基差。