如何判断一个点在某个区域内

各位高手，有没有判断一个点在某个区域内的算法？这个区域的各点的坐标都知道，某点的坐标也知道

<P>我也没做过</P>

<P>这属于空间分析中包含分析的问题。</P>
<P>确定点与面之间的关系可以采用作铅垂线算法来解决。</P>
<P>计算铅垂线与多边形的所有交点，交点为偶数在多边形外，奇数那当然在多边形内罗。当然，在编程的时候还要处理很多特殊情况，比如，交点等于多边形的结点或中间点…………</P>
<P>总之，这可以说是最基本的gis算法啦，不会连程序都要…………</P>
<P>顺便问一句，楼上上的学gis多长时间？？？？</P><img src="images/post/smile/dvbbs/em07.gif" />

<P>说白了，这些都是计算几何的知识，有条件的话，建议查询《计算几何》</P>

<P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">表面看来，二元函数只是多了一个自变量，有关的微积分概念应该是与一元情形相平行的，似乎是不需要多少新的概念，实际上，二元的情形从几何的意义来看，就是从一维进入了二维，而我们知道二维的几何现象要比一维的几何现象丰富得多。因此有关二元函数的微积分概念注定要比相应的一元情形复杂得多。也就是说出现了很多新的问题与新的现象，需要应用新的概念来给予刻划。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0"><p> </p></P><P 21pt"><B>二元函数及其定义域。</B><B><p></p></B></P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">对于二元函数的自变量，我们可以用两种观点来看。一就是两个相互独立的自变量，分别具有其变化范围，要确定一个函数值，就必须同时取定两个独立的自变量的取值，为了获得比较直观的看法，可以首先假设一个变量取某个定值，然后考虑剩下的一元函数，这样对于不同的定值，就有相应的一元函数，再反过来，考虑另一个变量，类似地得到对于整个函数的一个大概了解。另外一种观点，就是把两个自变量看成是一个平面上点的两个坐标分量，这样自变量的变化就表现为这个点在平面的位置的变化。这时我们就有可能在平面上给出函数的定义域的描述，一般情况下，就是一定的平面区域。这样函数就可以想象为投影为定义域区域的三维曲面。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">第二种观点具有很强的直观性，因此我们对二元函数的研究，主要就采用这种看法。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">给出一个二元函数的解析式以后，确定它的定义域是分析函数的关键第一步。而初学者往往正好是忽略这一步，认为过于简单而无关紧要，实际上给出某些函数的定义域的平面图形还是非常麻烦的一件事，并且我们强烈要求初学者，不管函数多么简单，都一定要在进行任何的处理之前，首先分析它的定义域，画出它所表示的平面区域的草图。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">有关定义域所表示的平面区域，具有两个相当重要的概念：<B>开闭性</B>和<B>连通性</B>。而基本概念仍然是<B>邻域</B>的概念。</P><P>平面区域的开闭性非常复杂，理解它的基础就在于邻域的观念。严格的定义超出了本课程的要求，我们只要求掌握一些常见的函数的定义域的开闭性质，初学者特别应该加强训练，多作相关练习，养成在处理二元函数时，总是先动手画出函数定义域的平面图形的习惯。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">连通性的概念也非常重要的，因为我们有可能遇到一些定义域由不连通的区域所组成的情况，这就增加了分析问题的复杂性，也是常常容易发生错误的地方。</P><P><p> </p></P><P 21pt"><B>二元函数的极限。</B><B><p></p></B></P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">对二元函数定义极限以及连续性，关键是定义变量从一个值趋向另一个值的含义，前面我们已经提到对于二元函数的两种看法，这两种看法导致了不同的两种极限。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">首先我们看和一元函数类似的第二种看法，即把两个自变量看成平面上一个点的两个坐标分量，这样自变量从一个点趋向于另一个点的行为可以理解为到另一个点的距离趋向于0，而平面上点之间的距离是具有现成定义的，即对于平面上的两点（a，b）和（c，d），它们之间的距离定义为</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0"><SUB><v:shapetype><v:stroke joinstyle="miter"></v:stroke><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0 "></v:f><v:f eqn="sum @0 1 0 "></v:f><v:f eqn="sum 0 0 @1 "></v:f><v:f eqn="prod @2 1 2 "></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth "></v:f><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight "></v:f><v:f eqn="sum @0 0 1 "></v:f><v:f eqn="prod @6 1 2 "></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth "></v:f><v:f eqn="sum @8 21600 0 "></v:f><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight "></v:f><v:f eqn="sum @10 21600 0 "></v:f></v:formulas><v:path connecttype="rect" gradientshapeok="t" extrusionok="f"></v:path><lock v:ext="edit" aspectratio="t"></lock></v:shapetype><v:shape><v:imagedata src="7_files/image001.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">运用这个定义类比于一元函数的坐标差的绝对值的距离的定义，就可以得到二元函数的极限的相应定义。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">这里我们强烈建议同学们根据这个提示，自己写出二元函数的极限的严格定义，只有自己能够写出来，才能避免阅读时看得懂，而当要求自己叙述时，却又理不清头绪的问题，特别是这样能够加强我们对于极限这个微积分基本概念的理解。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">进一步，对于上面的观点，我们还可以完全基于邻域的概念来理解，因为在邻域的概念里，已经包含了距离的使用，因此，直接使用邻域的概念，就可以非常简洁地得到与一元函数统一的定义，实际上，也就是对于任意的多元函数的极限的统一定义：</P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B>设函数f</B><B>（X</B><B>）在某点P</B><B>的某个去心邻域有定义，如果对于任意的<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image003.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>，都存在相应的<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image005.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>，使得当点X</B><B>属于这个邻域时，总有<p></p></B></P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image007.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB><p></p></B></P><P><B>成立，我们就称f</B><B>（X</B><B>）在X</B><B>趋向于P</B><B>点时，以A</B><B>为极限。<p></p></B></P><P 21pt">这里点X或者点P的坐标分量有多少个是没有具体限制的，这就实际上是给出了对于任意的多元函数的极限的定义。并且可以称为是多元函数的<B>多重极限</B>。</P><P 21pt"><p> </p></P><P 21pt">现在，我们再讨论如果使用对于二元函数的第一种看法，会给极限定义代来什么样的变化。</P><P 21pt"><B>如果我们分别考虑二元函数的两个变量，那么对于函数z=f</B><B>（x</B><B>，y</B><B>），自变量（x</B><B>，y</B><B>）的取值趋向于某个定值<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image009.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>，就可以看成是首先把一个变量，例如y</B><B>看成参数，只是考虑变量x</B><B>的趋向于x<SUB>0</SUB></B><B>点的行为，这时，我们可以完全应用一元函数的极限的定义，得到<p></p></B></P><P 21pt"><B><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image011.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB><p></p></B></P><P><B>的定义，然后，再考虑包含变量y</B><B>的g</B><B>（y</B><B>）的相应极限行为，同样应用一元函数的定义，得到<p></p></B></P><P 21pt"><B><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image013.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB><p></p></B></P><P><B>的定义，这样，我们实际上是定义了这样一个极限过程：<p></p></B></P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image015.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>。<p></p></B></P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B>这被称为二次极限，一般地，这样定义的多元函数的极限被称为累次极限。</B></P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">初学者千万需要注意的是，累次极限与多重极限具有细微的区别，它们并不是完全的等价，而是具有下面的定理所表明的不等价关系：</P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B>如果函数f</B><B>（x</B><B>，y</B><B>）在点<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image009.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>的二重极限为<p></p></B></P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image017.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>（无论是有限还是无限），<p></p></B></P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B>同时，如果对于任一邻近y<SUB>0</SUB></B><B>的y</B><B>，存在关于x</B><B>的有限极限<p></p></B></P><P 21pt"><B><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image011.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>，<p></p></B></P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B>那么二次极限<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image019.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image013.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>存在，并且是等于二重极限A</B><B>的。<p></p></B></P><P 0">从什么的定理，可以看到多重极限与累次极限的关系是比较复杂的，对于具体的问题需要作具体的分析，而不能武断地用一个代替另一个。特别是由于计算累次极限实际上就是计算一元函数极限的过程，比较计算多重极限要简单，使得初学者特别容易在这方面犯错误。</P><P 0"><p> </p></P><P 0"><B>二元函数的连续性及其性质。</B><B><p></p></B></P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">定义了二元函数的极限以后，对于连续性就容易理解了。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">类似于极限定义当中，我们分别应用了点之间的距离和邻域的观点，相应的对于连续性，同样可以使用这两种观点进行叙述。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">我们在讨论一元函数的极限与连续性时，已经知道极限与连续性的重大区别在于极限不要求函数在极限点有定义，而连续则一定要求函数在该点有定义，并且函数在该点的极限必须就等于函数在该点的函数值。</P><P 21pt">因此相应的，<B>我们在定义二元函数的连续性时，同样要强调函数在极限点处有定义，然后就是</B><B><p></p></B></P><P 21pt"><B><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image021.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>，<p></p></B></P><P><B>就定义了函数在P</B><B>点的连续性。<p></p></B></P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">上面定义的是函数在某点的连续性，相应的，函数在某个区域的的连续性，就是函数在这个区域的每个点的连续性，而对于连续函数经过四则运算与复合而得到的函数，在最终的定义域内，同样是连续性，因此从本质上来看，四则运算和复合都不影响函数的连续性。这些都是和一元函数平行的结果。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">但对于函数的间断情形，二元函数就要比一元函数要复杂，不过产生间断的原因则是同样的，即或者是由于函数在某点不存在定义，或者是虽然存在定义，但在该点的函数值不等于函数在该点的极限值。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">还有一个与一元函数完全平行的连续性性质，就是连续函数在闭区域上的最值性质与介值性质：</P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B>（1</B><B>）如果函数f</B><B>（X</B><B>）在有界区域D</B><B>上连续，则必定存在点<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image023.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>，使得对于任意点<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image025.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>，都有<p></p></B></P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image027.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB><p></p></B></P><P><B>成立，我们相应地称P<SUB>1</SUB></B><B>为函数在区域D</B><B>的最小值点，而f</B><B>（P<SUB>1</SUB></B><B>）为函数在区域D</B><B>上的最小值，相应的就是最大值点和最大值。这个定理被称为最值定理。<p></p></B></P><P 21pt"><B>（2</B><B>）如果函数f</B><B>（X</B><B>）在有界连通闭区域D</B><B>上连续，a</B><B>，b</B><B>为函数在区域D</B><B>上的任意两点的函数值，则对于区间[a</B><B>，b]</B><B>上的任意实数c</B><B>，必定存在区域D</B><B>上的一点Q</B><B>，使得<p></p></B></P><P 21pt"><B>f</B><B>（Q</B><B>）=c</B><B>。<p></p></B></P><P><B>这个定理被称为介值定理。<p></p></B></P><P 21.1pt">注意这两个定理的条件的重要差异，即介值定理要求是在一个有界连通闭区域，而最值定理只是要求在有界闭区域，也就是说，介值定理要求函数定义区域的连通性。</P><P><p> </p></P><P 21pt">偏导数。梯度。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">对于多元函数，同样需要考虑因变量关于因变量的变化率，也就是类似于单变量函数的导数的概念，但是由于多元函数的自变量是由多于一个的几个变量组成，因此情况变得比较复杂，这样我们只有首先尝试在讨论极限时已经运用的方法，就是除了一个变量以外，其他变量都看成是参数，不考虑它发生变化的情况，也就是取固定值的情况，这样，就得到了偏导数的概念。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">偏导数的定义是完全平行于单变量函数的导数的定义的，在这里，除了要取偏导数的那个自变量以外，其他的自变量都不用管，只当是一个常数就可以了，这样，就可以对函数的每一个自变量单独地取偏导数。<B>对于具有相互独立的</B><B>n</B><B>个自变量的函数，就可以定义相互独立的n</B><B>个各自的偏导数。</B>而求导法完全就是按照单变量函数的求导法，再强调一句，<B>因为在求偏导数时，其他的自变量都可以看成是常数</B><B><p></p></B></P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">不过要注意，<B>不要把单变量函数的导数的符号</B><B><SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image029.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>和对于x</B><B>的偏导数的符号<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image031.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>搞混淆了，</B>毕竟起码它们的定义背景不同。而且它们还有两个重要的差别：</P><P 66.6pt; TEXT-INDENT: -45.6pt; mso-list: l4 level1 lfo2; tab-stops: list 66.6pt"><B>（1）          </B><B>对于多元函数来说，如果函数在某点的对于各个自变量的偏导数都存在，但仍然有可能函数在这点是不连续的。<p></p></B></P><P 66.6pt; TEXT-INDENT: -45.6pt; mso-list: l4 level1 lfo2; tab-stops: list 66.6pt"><B>（2）          </B><B>偏导数的符号<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image031.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>是一个整体，它暗示了还有其他的变量被看成是常数，而单变量函数的导数的符号<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image029.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>，我们知道根据微分的含义，可以把它看成是一个商式，也就是说，满足平常的乘除法运算法则，而<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image031.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>则不允许这么理解，因为对于多元函数的偏导数，还不存在类似于单变量函数的微分那样的概念。<p></p></B></P><P 21pt">按照把其他自变量看成常数的理解，就可以很容易地理解偏导数的几何意义，例如对于一个二元函数f（x，y），把一个自变量y取为常数，就意味着用垂直于Y轴的平面去横截函数f（x，y）所表示的曲面，然后可以得到沿着横截面的曲线在某点的切线，切线的斜率就是函数在该点的对于x的偏导数的几何意义。</P><P 21pt">正是由于偏导数假定了其他的自变量为常数，因此不能令人满意地表达函数随着所有自变量变化而产生的变化率，如果我们希望定义这样一个能令人满意地表达函数随着所有自变量变化而产生的变化率的新的量，则根据多元函数的几何图象，我们知道函数随着所有自变量变化而产生变化时，是可以有不同的方向的，因此可以想象这个新的概念还必须是一个向量，基于这些考虑，我们给出梯度的概念：</P><P 21pt">设二元函数f（x，y）在点（x，y）处的偏导数都存在，则函数在该点的梯度为</P><P 21pt"><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image033.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB>，</P><P>其中<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image035.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB>和<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image037.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB>分别是在X轴和Y轴方向上的单位向量。</P><P 21pt">可以看到这个定义是一个线性组合。因此可以很容易地想象，这个运算具有线性性质，也就是</P><P 21pt"><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image039.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB>；</P><P 21pt"><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image041.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB>；</P><P 21pt"><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image043.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB>。</P><P><p> </p></P><P 21pt"><B>全微分及其几何意义。</B><B><p></p></B></P><P 21pt">类似于单变量函数的微分的概念，对于多变量函数就是<B>全微分</B>的概念。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">我们知道单变量函数的微分就是变量增量的线性近似，对于多元函数，首先必须定义相应的自变量增量的概念，为了反映所有自变量的变化所导致的因变量的变化，我们定义全增量的概念，就是每一个自变量产生一定的增量，相应地给出因变量的增量，这个增量是由所有自变量的变化而产生的，因此称为<B>全增量</B>，即对于函数<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image045.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB>，全增量就是</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0"><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image047.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB>。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">定义了全增量，那么顺理成章地，类似于单变量函数的微分的定义，我们把全增量依赖于每一个自变量增量的关系线性化，并且把全增量的线性主部就称为函数的<B>全微分</B>：</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0"><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image047.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">   =<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image049.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB>）。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">其中定义全微分为</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0"><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image051.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB>。</P><P 21.1pt">那么我们就可以把函数在某点处可微定义为函数在该点的某个邻域存在定义，而基于该点的全增量可以表示为上面的形式，也就是说明可以定义全微分。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">根据可微的定义，可以直接得到下面的定理：</P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B>如果二元函数f</B><B>（x</B><B>，y</B><B>）在（a</B><B>，b</B><B>）点处可微，那么<p></p></B></P><P 57pt; TEXT-INDENT: -36pt; mso-list: l3 level1 lfo3; tab-stops: list 57.0pt"><B>（1）     </B><B>函数在（a</B><B>，b</B><B>）处连续；<p></p></B></P><P 57pt; TEXT-INDENT: -36pt; mso-list: l3 level1 lfo3; tab-stops: list 57.0pt"><B>（2）     </B><B>函数在该点处的各个偏导数都存在，并且函数在该点处的全微分满足<p></p></B></P><P 21pt"><B><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image053.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>，<p></p></B></P><P><B>或者写成<p></p></B></P><P 21pt"><B><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image055.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>，<p></p></B></P><P><B>如果直接利用梯度的向量表达式的优越性，也可以直接写成<p></p></B></P><P 21pt"><B><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image057.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>。<p></p></B></P><P><B>在这个表达形式里，可以看到梯度于导数的类似性。<p></p></B></P><P 21pt">进一步，我们有如下的有关偏导数与可微的关系的定理：</P><P 21.1pt">如果对于函数在某点的某个邻域内，所有的偏导数都存在并且连续，那么函数在该点必定可微。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">注意这个定理里关于可微的充分条件。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">我们知道二元函数能够用来描述一个三维空间中的曲面，而一个二元函数在某点可微，则刻划了这个二元函数所表示的曲面在该点的一个重要性质，即在该点的切平面的唯一存在性，定理如下：</P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B>如果函数<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image045.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>在点（a</B><B>，b</B><B>）处可微，则相应的曲面在点（a</B><B>，b</B><B>，c</B><B>）存在唯一的一个切平面（<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image059.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>），切平面方程为<p></p></B></P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image061.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>。<p></p></B></P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">可以看到这个定理实际上表明了可微的几何意义，即和单变量函数的导数的意义一样，只是对于多变量函数来说，偏导数并不具有和单变量函数的导数一样的地位，而只有全微分才具有和单变量函数的可微（对于单变量函数来说，就是可导）相同的地位。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0"><p> </p></P><P 21pt"><B>方向导数。</B><B><p></p></B></P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">我们已经知道描述多元函数的在某点处的一般变化率的是梯度，而梯度是一个向量，因此它在某个确定的点处是具有确定的方向的。而在实际应用当中，我们不只是需要知道函数在梯度方向的变化率，也还要求知道其他特定方向的变化率，这种根据特定方向而计算出来的变化率，称为方向导数。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">具体到二元函数，就可以想象是在曲面上，对于自变量所张成的空间内的一个方向向量<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image063.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB>，在某点处沿着这个方向求导数，即是这点处在这个方向上的方向导数。记为<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image065.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB>。</P><P 21pt; mso-char-indent-count: 2.0">考虑到梯度的定义以及向量的内积的几何意义，就是一个向量在另一个向量方向的投影，因此很自然可以得到函数在某点的方向导数就是在，该点的梯度在所给的方向上的投影。在就是下面的定理：</P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B>如果函数<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image045.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>在点（x</B><B>，y</B><B>）处可微，则函数在该点沿着任意方向<SUB><v:shape> <v:imagedata src="7_files/image067.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>的方向导数都存在，并且等于<p></p></B></P><P 21.1pt; mso-char-indent-count: 2.0"><B><SUB><v:shape><v:imagedata src="7_files/image068.wmz" title=""></v:imagedata></v:shape></SUB></B><B>。<p></p></B></P>

去看几何学了

<img src="images/post/smile/dvbbs/em01.gif" /><img src="images/post/smile/dvbbs/em46.gif" />

ding

<P><b><FONT color=#000066>guaibaoid</FONT></b></P><P><b><FONT color=#000066>看来是高科学的料了</FONT></b></P><P><b><FONT color=#000066>呵呵</FONT></b></P>