谈谈"求线段交点"的几种算法(js实现,完整版)

"求线段交点"是一种非常基础的几何计算, 在很多游戏中都会被使用到.
下面我就现学现卖的把最近才学会的一些"求线段交点"的算法说一说, 希望对大家有所帮助.
本文讲的内容都很初级, 主要是面向和我一样的初学者, 所以请各位算法帝们轻拍啊 嘎嘎

引用
已知线段1(a,b) 和线段2(c,d) ,其中a b c d为端点, 求线段交点p .(平行或共线视作不相交)


===============================
算法一: 求两条线段所在直线的交点, 再判断交点是否在两条线段上.

求直线交点时 我们可通过直线的一般方程 ax+by+c=0 求得(方程中的abc为系数,不是前面提到的端点,另外也可用点斜式方程和斜截式方程,此处暂且不论).
然后根据交点的与线段端点的位置关系来判断交点是否在线段上. 公式如下图:



实现代码如下 :

function segmentsIntr(a, b, c, d){  
2.  
3./** 1 解线性方程组, 求线段交点. **/ 
4.// 如果分母为0 则平行或共线, 不相交  
5.    var denominator = (b.y - a.y)*(d.x - c.x) - (a.x - b.x)*(c.y - d.y);  
6.    if (denominator==0) {  
7.        return false;  
8.    }  
9.   
10.// 线段所在直线的交点坐标 (x , y)      
11.    var x = ( (b.x - a.x) * (d.x - c.x) * (c.y - a.y)   
12.                + (b.y - a.y) * (d.x - c.x) * a.x   
13.                - (d.y - c.y) * (b.x - a.x) * c.x ) / denominator ;  
14.    var y = -( (b.y - a.y) * (d.y - c.y) * (c.x - a.x)   
15.                + (b.x - a.x) * (d.y - c.y) * a.y   
16.                - (d.x - c.x) * (b.y - a.y) * c.y ) / denominator;  
17.  
18./** 2 判断交点是否在两条线段上 **/ 
19.    if (  
20.        // 交点在线段1上  
21.        (x - a.x) * (x - b.x) <= 0 && (y - a.y) * (y - b.y) <= 0  
22.        // 且交点也在线段2上  
23.         && (x - c.x) * (x - d.x) <= 0 && (y - c.y) * (y - d.y) <= 0  
24.        ){  
25.  
26.        // 返回交点p  
27.        return {  
28.                x :  x,  
29.                y :  y  
30.            }  
31.    }  
32.    //否则不相交  
33.    return false 
34.  
35.}

算法一思路比较清晰易懂, 但是性能并不高. 因为它在不确定交点是否有效(在线段上)之前, 就先去计算了交点, 耗费了较多的时间.
如果最后发现交点无效, 那么之前的计算就白折腾了. 而且整个计算的过程也很复杂.
那么有没有一种思路,可以让我们先判断是否存在有效交点,然后再去计算它呢?
显然答案是肯定的. 于是就有了后面的一些算法.


===============================
算法二: 判断每一条线段的两个端点是否都在另一条线段的两侧, 是则求出两条线段所在直线的交点, 否则不相交.

第一步判断两个点是否在某条线段的两侧, 通常可采用投影法:

求出线段的法线向量, 然后把点投影到法线上, 最后根据投影的位置来判断点和线段的关系. 见下图



点a和点b在线段cd法线上的投影如图所示, 这时候我们还要做一次线段cd在自己法线上的投影(选择点c或点d中的一个即可).
主要用来做参考.
图中点a投影和点b投影在点c投影的两侧, 说明线段ab的端点在线段cd的两侧.

同理, 再判断一次cd是否在线段ab两侧即可.

求法线 , 求投影 什么的听起来很复杂的样子, 实际上对于我来说也确实挺复杂,在几个月前我也不会(念书那会儿的几何知识都忘光了 :'( )'
不过好在学习和实现起来还不算复杂, 皆有公式可循:


求线段ab的法线:

var nx=b.y - a.y,   
2.    ny=a.x - b.x;  
3.var normalLine = {  x: nx, y: ny };

最后 求交点坐标的部分 所用的方法看起来有点奇怪, 有种摸不着头脑的感觉.
其实它和算法一 里面的算法是类似的,只是里面的很多计算项已经被提前计算好了.
换句话说, 算法二里求交点坐标的部分 其实也是用的直线的线性方程组来做的.

现在来简单粗略 很不科学的对比一下算法一和算法二:
1 最好情况下, 两种算法的复杂度相同
2 最坏情况, 算法一和算法二的计算量差不多
3 但是算法二提供了 更多的"提前结束条件",所以平均情况下,应该算法二更优.

实际测试下来, 实际情况也确实如此.

前面的两种算法基本上是比较常见的可以应付绝大多数情况. 但是事实上还有一种更好的算法.
这也是我最近才新学会的(我现学现卖了,大家不要介意啊...)

===============================
算法三: 判断每一条线段的两个端点是否都在另一条线段的两侧, 是则求出两条线段所在直线的交点, 否则不相交.

(咦? 怎么感觉和算法二一样啊? 不要怀疑 确实一样 ... 囧)
所谓算法三, 其实只是对算法二的一个改良, 改良的地方主要就是 :
不通过法线投影来判断点和线段的位置关系, 而是通过点和线段构成的三角形面积来判断.

先来复习下三角形面积公式: 已知三角形三点a(x,y) b(x,y) c(x,y), 三角形面积为:




Javascript代码  

1. var triArea=( (a.x - c.x) * (b.y - c.y) - (a.y - c.y) * (b.x - c.x) ) /2 ;  

因为 两向量叉乘==两向量构成的平行四边形(以两向量为邻边)的面积 , 所以上面的公式也不难理解.
而且由于向量是有方向的, 所以面积也是有方向的, 通常我们以逆时针为正, 顺时针为负数.

改良算法关键点就是:
如果"线段ab和点c构成的三角形面积"与"线段ab和点d构成的三角形面积" 构成的三角形面积的正负符号相异,
那么点c和点d位于线段ab两侧. 如下图所示:



图中虚线所示的三角形, 缠绕方向(三边的定义顺序)不同, 所以面积的正负符号不同.


下面还是先看代码:
由于我们只要判断符号即可, 所以前面的三角形面积公式我们就不需要后面的 除以2 了.



Javascript代码  

1. function segmentsIntr(a, b, c, d){  
2.  
3.    // 三角形abc 面积的2倍  
4.    var area_abc = (a.x - c.x) * (b.y - c.y) - (a.y - c.y) * (b.x - c.x);  
5.  
6.    // 三角形abd 面积的2倍  
7.    var area_abd = (a.x - d.x) * (b.y - d.y) - (a.y - d.y) * (b.x - d.x);  
8.  
9.    // 面积符号相同则两点在线段同侧,不相交 (对点在线段上的情况,本例当作不相交处理);  
10.    if ( area_abc*area_abd>=0 ) {  
11.        return false;  
12.    }  
13.  
14.    // 三角形cda 面积的2倍  
15.    var area_cda = (c.x - a.x) * (d.y - a.y) - (c.y - a.y) * (d.x - a.x);  
16.    // 三角形cdb 面积的2倍  
17.    // 注意: 这里有一个小优化.不需要再用公式计算面积,而是通过已知的三个面积加减得出.  
18.    var area_cdb = area_cda + area_abc - area_abd ;  
19.    if (  area_cda * area_cdb >= 0 ) {  
20.        return false;  
21.    }  
22.  
23.    //计算交点坐标  
24.    var t = area_cda / ( area_abd- area_abc );  
25.    var dx= t*(b.x - a.x),  
26.        dy= t*(b.y - a.y);  
27.    return { x: a.x + dx , y: a.y + dy };  
28.  
29. }  

最后 计算交点坐标的部分 和算法二同理.


算法三在算法二的基础上, 大大简化了计算步骤, 代码也更精简. 可以说,是三种算法里, 最好的.实际测试结果也是如此.

当然必须坦诚的来说, 在Javascript里, 对于普通的计算, 三种算法的时间复杂度其实是差不多的(尤其是V8引擎下).
我的测试用例里也是进行变态的百万次级别的线段相交测试 才能拉开三种算法之间的差距.

不过本着精益求精 以及学习的态度而言, 追求一个更好的算法, 总是有其积极意义的.


好了 不啰嗦了, 就到这里吧.
现学现卖的东西, 难免有错误, 还请大家不吝斧正. 先谢谢啦